2020_01

$H$ $A$ $B$ $C$ 。

解：

$h$ 为当前水深。

注水时水为匀速加入:

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \frac{d h^{+}}{d t} & = \frac{H}{A} \\ \int_{0}^{H} d h & = \int_{0}^{A} \frac{H}{A} d t \end{aligned} \end{matrix}

放水时非匀速流动，依据伯努利定律:

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h + p & = constant \end{aligned} \end{matrix}

在出水口两侧：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h_{1} + p_{1} & = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g h_{2} + p_{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\rho$ $v_1、v_2$ $h_1、 h_2$ $p_1、p_2$ 为两侧压强。

求解得到：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} v & = \sqrt{2 g h} \end{aligned} \end{matrix}

$Q\propto v$ $Q \propto \sqrt{h}$ ，放水速度：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{d h^{-}}{d t} & = - c \sqrt{h} \\ \int_{H}^{0} \frac{d h}{\sqrt{h}} & = \int_{0}^{B} - c d t \end{aligned} \end{matrix}

求解得到：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} c & = \frac{2 \sqrt{h}}{B} \end{aligned} \end{matrix}

放水速度为：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \frac{d h^{-}}{d t} & = \frac{- 2 \sqrt{H h}}{B} \end{aligned} \end{matrix}

联立注放水：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{d h^{-}}{d t} + \frac{d h^{+}}{d t} & = \frac{- 2 \sqrt{H h}}{B} + \frac{H}{A} = \frac{H B - 2 A \sqrt{H h}}{A B} \end{aligned} \end{matrix}

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图一高度与高度变化关系

分析知：

$HB-2A\sqrt{Hh}<0$ 时:水位无法再增长，反而会下降。
$HB-2A\sqrt{Hh}=0$ $h=\frac{HB^2}{4A^2}$ $\frac{HB^2}{4A^2}$ $\frac{HB^2}{4A^2}<H$ $\frac{HB^2}{4A^2} >H 即B>2A$ 时可以注满。
$HB-2A\sqrt{Hh}>0$ 时:水位可以继续增长，如果维持此状态可以注满：
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \int_{0}^{C} \frac{d t}{A B} & = \int_{0}^{H} \frac{d h}{H B - 2 A \sqrt{H h}} \end{aligned} \end{matrix}$
$x=\sqrt h :h=x^2,dh=x2dx\\$
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \frac{C}{A B} & = \int_{0}^{\sqrt{H}} \frac{2 x d x}{H B - 2 A \sqrt{H} x} \end{aligned} \end{matrix}$
$w=HB-2A\sqrt Hx:x=\frac{w-HB}{-2A\sqrt H} ,dx=\frac{-dw}{2A\sqrt H}\\$
$\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \frac{C}{A B} & = \int_{H B}^{H B - 2 A H} \frac{(w - H B) d w}{2 A^{2} H w} \end{aligned} \end{matrix}$
求解得到：
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} C & = - B - \frac{B^{2}}{2 A} l n (1 - \frac{2 A}{B}) \end{aligned} \end{matrix}$
$C$ $0<1-\frac{2A}{B}<1即0<2A<B$

综上所述：

$2A<B$ $C=-B-\frac{B^2}{2A}ln(1-\frac{2A}{B})\\$

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仿真效果